Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Сумма углов треугольника

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Образовательные:

вместе с ребятами “открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
обобщить и систематизировать изученный материал по данной теме;
познакомить учащихся с историческим материалом по изучаемой теме;
привить интерес к математике посредством включения в урок игровых технологий;
сформировать навыки, умения в решении геометрических задач;

Развивающие:

развить внимание, память, речь, логическое мышление, самостоятельность;
рассмотреть нескольких способов доказательства теоремы, обобщить с использованием элементов исследования, развить математическую речь;
сформировать умения сравнивать, обобщать факты и понятия;
развить сотрудничество при работе в парах.

Воспитательные:

воспитывать стремление достигать поставленную цель; чувство ответственности, уверенности в себе, умение работать в коллективе;
воспитывать такие черты характера, как настойчивость, целеустремленность, трудолюбие и дисциплинированность;
привить навыки аккуратности при построении чертежей;

сформировать гуманные отношения на уроке.

Оборудование: ПК, мультимедийное оборудование, планшеты, листы задания с домашней работой, картонные треугольники, раздаточный материал.

Применяемые формы обучения: Фронтальная, индивидуальная работа учащихся и работа в парах. Для активизации внимания, воображения введены игровые моменты.

Структура урока:

Организация начала урока – 2 мин.
Определение задач урока – 1 мин.
Подготовка к основному этапу урока -5 мин.
Актуализация ранее изученного материала – 4 мин.
Ознакомление с новым материалом – 10 мин
Физкультминутка – 1 мин
Первичная проверка понимания – 5 мин.
Усвоение знаний. Решение задач – 13 мин.
Подведение итогов урока. Рефлексия – 2 мин.
Информация о домашнем задании – 2 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. На доске тема урока и высказывание:

…Как для смертных истина ясна,
Что в треугольник двум тупым не влиться.
Данте А.

2. Определение задач урока.

Ребята, как вы думаете, о какой фигуре пойдет речь на этом уроке? Какие задачи урока?

“открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
научить решать задачи, применяя полученные знания.

3. Подготовка к основному этапу урока.

Сформулируйте определение треугольника. (Треугольник это геометрическая фигура, образования тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

Назовите элементы треугольника. (Углы, стороны, вершины.)

Назовите названия треугольников по сторонам. (Равносторонний, равнобедренный, разносторонний.)

Один из учащихся выбирает и показывает классу треугольники, заготовленные и лежащие на столе у учителя.

Треугольники различаются и по углам. Попробуем назвать треугольники по углам. (Другой учащийся выбирает: остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольники.)

Давайте ответим на ряд вопросов:

Может ли треугольник иметь:

два прямых угла;
два тупых угла;
один прямой и один тупой угол?

К доске вызывается один ученик и выполняет следующие рисунки:

Далее идет «коллективное обсуждение». Построенные лучи не пересекаются, значит, треугольник не получится. Сумма односторонних углов в первом случае равна 180°, во втором и третьем случае больше, чем 180°. В первом случае прямые параллельны, а во втором и третьем случае прямые расходятся. Делаем вывод: треугольники не могут иметь два прямых, два тупых. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы. Слайд 3.

Опять посмотрим на модели треугольников и сделаем вывод: в прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два угла острых, в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два острых, в остроугольном треугольнике все углы острые. Но теоретически мы на этот вопрос ответить не можем, пока не узнаем, чему равна сумма углов треугольника.

Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. А как вы думаете, чему равна сумма углов любого треугольника? (Заслушать ответы). Давайте проверим, верны ли ваши предположения с помощью практической работы.

Практическая работа (способствует актуализации знаний и навыков самопознания). (Работа в парах.) Слайды 4-5.

У каждого из вас есть на парте по одному треугольнику разных цветов. Ребята, мы с вами измеряли углы и с помощью транспортира и находили их сумму еще в 5 классе. Сумма углов у всех получалась разная (так может получаться потому, что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).

Я предлагаю найти сумму углов треугольника двумя другими способами: возьмите треугольники, которые лежат у вас на парте. Они желтого или розового цвета. Обозначьте углы треугольника числами 1, 2, 3.

Учащиеся с желтыми треугольниками: оторвите два угла треугольника и приложите их к сторонам третьего угла так, чтобы все вершины были в одной точке. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

Учащиеся с розовыми треугольниками: сложите углы во внутрь треугольника. Заметим, что перегибать треугольник надо по прямой параллельной к стороне, того угла который мы будем сгибать первым, а данный угол должен касаться данной стороны. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

Чему равна градусная мера развернутого угла?

К какому выводу мы пришли?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Выполнив практическую работу, мы установили, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой.

Какую теорему нам нужно доказать?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

4. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению новых знаний.

Слайды 6-7.

Прежде, чем доказать эту теорему решим две задачи устно они помогут нам при доказательстве теоремы:

5. Этап усвоения новых знаний, умений, навыков.

Слайды 8-9

(Возможны три способа доказательства).

Доказательство теоремы (развивает способность анализировать, обобщать и делать логические выводы, используя ранее изученный материал).

Один учащийся доказывает теорему у доски, по ходу комментируя свои действия. Остальные учащиеся работают в тетрадях. В случае неточности, учитель проводит корректировку.

Учитель: Что нам дано?

Учащийся: Дан треугольник.

Учитель: Постройте у себя в тетрадях произвольный треугольник и обозначьте его вершины А, В и С. Что требуется доказать?

Учащийся: Что сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: ∆ ABC
Доказать: A+B+C=180°

План доказательства:
1) Через вершину B проведем прямую DE || AC
2) Доказать, что 4 =1 , 5 = 3
3) Доказать, что если 4+2+5=180°, значит, 1+2+3=180° или в ∆ ABC A+B+C=180°

Но такой способ доказательства не единственный. Первое доказательство было дано еще Пифагором (5 в. до н.э.) В первой книге «Начала» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Слайд 10.

Ребята доказывают устно:

Доказательство:
1) Через вершину B проведем луч BD|| AC.
2) 4и 3- накрест лежащие при BD||AC и секущей BC.
3) BD|| AC и AB- секущая, то 1+ABD=180° – односторонние углы.
4) тогда 1+2+4=180° , т.к 4=3 ,то 1+2+3=180° или A+B+C=180°

Попробуйте доказать дома эту теорему, используя чертеж учеников Пифагора. (Ребятам раздается лист с чертежами всех трех доказательств на дом.) Слайд 11.

6. Физкультминутка.

Слайды 12-14.

7. Закрепление изученного материала.

Теперь, пользуясь теоремой, можно обосновать, почему в треугольнике не может быть двух прямых углов, двух тупых углов, двух углов, один из которых тупой, а другой прямой.

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника (выводится учащимися самостоятельно; это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее).

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .

Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным . Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным . Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .

Устная работа: (планшеты) Слайд 15.

Ответьте на вопросы: Слайд 16.

Если один из углов треугольника прямой, то какие будут два других угла?
Если треугольник прямоугольный, то чему равна сумма острых углов треугольника?
Если один из углов треугольника тупой, то чему равна сумма двух других углов треугольника?

9. Задание на дом.

Раздаточный маериал: три чертежа для доказательства. (приложение 1 )
П. 30-31, стр. 70, №223(а,б), 224, 225, 230

10. Итог урока.

Рефлексия:

Продолжите фразу:

“Сегодня на уроке я узнал…”
“Сегодня на уроке я научился…”
“Сегодня на уроке я познакомился…”
“Сегодня на уроке я повторил…”
“Сегодня на уроке я закрепил…”

>>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.

Цели урока:

Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
Доказательство свойства углов треугольника;
Применение этого свойства при решении простейших задач;
Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.

Задачи урока:

Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

Треугольник;
Теорема о сумме углов треугольника;
Пример задач.

Треугольник.

Файл:O.gif Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники - этот процесс называется триангуляция .
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия .

Теорема о сумме углов треугольника.

Файл:T.gif Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство":

Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.

Следствия.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.

Следствия.

Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

Задача.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
(Рис.1)

Решение:

Пусть в Δ АВС ∠DАС – внешний (Рис.1). Тогда ∠DАС=180°-∠ВАС (по свойству смежных углов), по теореме о сумме углов треугольника ∠В+∠С =180°-∠ВАС. Из этих равенств получим ∠DАС=∠В+∠С

Интересный факт:

Сумма углов треугольника":

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.

Из истории математики:

Евклид (III в до н.э) в труде «Начала» приводит такое определение: «Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
Посидоний (I в до н.э) «Две прямые, лежащие в одной плоскости, равноотстоящие друг от друга»
Древнегреческий учёный Папп (III в до н.э) ввёл символ параллельных прямых- знак =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ использовал как знак равенства.
Только в XVIII веке стали использовать символ параллельности прямых - знак ||.
Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах (буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».

Вопросы:

Что такое треугольник?
Что гласит теорема о сумме углов треугольника?
Чему равен внешний угол треугольника?

То, что «Сумма углов любого треугольника в Эвклидовой геометрии равна 180 градусов» можно просто запомнить. Если запомнить не просто, можно провести парочку экспериментов для лучшего запоминания.

Эксперимент первый

Начертите на листе бумаги несколько произвольных треугольников, например:

с произвольными сторонами;
равнобедренный треугольник;
прямоугольный треугольник.

Обязательно пользуйтесь линейкой. Теперь нужно вырезать полученные треугольники, делая это ровно по начерченным линиям. Закрасьте углы каждого треугольника цветным карандашом или фломастером. Например, в первом треугольники все углы будут красными, во втором - синими, третьем – зелеными. http://bit.ly/2gY4Yfz

От первого треугольника отрежьте все 3 угла и вершинами соедините их в одно точке, так, чтобы ближайшие стороны каждого угла соединялись. Как видно, три угла треугольника образовали развернутый угол, который равен 180 градусов. То же самое проделайте с двумя другими треугольниками – результат будет тот же. http://bit.ly/2zurCrd

Эксперимент второй

Чертим произвольный треугольник ABC. Выбираем любую вершину (например, C) и через нее проводим прямую DE, параллельную противоположной стороне (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Получаем следующее:

Углы BAC и ACD равны, как внутренние накрестлежащие относительно AC;
Углы ABC и BCE равны, как внутренние накрестлежащие относительно BC;
Видим, что углы 1, 2 и 3 – углы треугольника, соединенные в одной точке образовали развернутый угол DCE, который равен 180 градусов.

Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Пусть внутренние углы треугольника равны a, b и c, тогда:

a + b + c = 180°.

Из данной теории можно сделать вывод, что сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360°. Так как внешний угол является смежным углом с внутренним, то их сумма равна 180°. Пусть внутренние углы треугольника равны a, b и c, тогда внешние углы при этих углах равна 180° - a, 180° - b и 180° - c.

Найдем сумму внешних углов треугольника:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Ответ: сумма внутренних углов треугольника равна 180°; сумма внешних углов треугольника равна 360°.

Теорема о сумме внутренних углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Дан треугольник АВС.
Через вершину B проведем прямую DK параллельно основанию AC.
\angle CBK= \angle C как внутренние накрест лежащие при параллельных DK и AC, и секущей BC.
\angle DBA = \angle A внутренние накрест лежащие при DK \parallel AC и секущей AB. Угол DBK развернутый и равен
\angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
Так как развернутый угол равен 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C и \angle DBA = \angle A , то получим 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Теорема доказана

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° .
В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45° .
В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° .
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий - тупой или прямой.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом

Доказательство:

Дан треугольник АВС, где ВСD - внешний угол.
\angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
Из равенств угол \angle BCD + \angle BCA = 180^0
Получаем \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

1) Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство

Пусть ABC" - произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
2) Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
Отсюда следует
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорема доказана.

Из теоремы следует:
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
3) Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них - меньше 90 то есть они - острые. если один из углов - тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые.
4) тупоугольный - больше 90 градусов
остроугольный - меньше 90 градусов
5) а. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.
б. Катеты и гипотенуза
6) 6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
7) По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов
8) --- тоже самое, что и 7
9) сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно - каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
10) Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Т. к. этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.
Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов.
11) 1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.